题目内容

设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点M、N．若△MNF1为正三角形，则该双曲线的离心率为
 
．
分析：根据题中所给条件易知可知，|NF2| =
b2
a
，|F1F2|=2c，∵△MNF1为正三角形，∴|NF1|2 =
b4
a2
+4c2=|MN|2=
4b4
a2
，由此可以求出该双曲线的离心率．
解答：解：由题意可知，|NF2| =
b2
a
，|F1F2|=2c，
∴|NF1|2 =
b4
a2
+4c2=|MN|2=
4b4
a2
，
∴4a2c2=3b4=3（a2-c2）2=3a4-6a2c2+3c4，
整理得3e4-10e2+3=0，
解得e=
3
或e=
3
3
（舍去）．
答案：
3
．
点评：本题考查双曲线的离心率，解题时要注意双曲线的离心率要大于1．
练习册系列答案
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设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（　　）
A、
5
4
B、5
C、
5
2
D、
5
设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的离心率e=
2
3
3
，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
3
2
．
（1）求双曲线方程；
（2）直线y=kx+5（k≠0）与双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求k值．
设F1、F2是离心率为
5
的双曲线
x2
a2
-
y 2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0（O为坐标原点）且|PF1|=λ|PF2|则λ的值为（　　）
A、2
B、
1
2
C、3
D、
1
3
设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2
5
，则双曲线的渐近线方程为（　　）
设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2
3
，则双曲线的渐近线方程为（　　）

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