Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为，则该球的体积为_____．

Answer 1

【答案】8π．

【解析】

首先根据条件求出PA，再把四棱锥P﹣ABCD补成一个以ABCD为底、PA为侧棱的长方体，则这个长方体的外接球就是四棱锥P﹣ABCD的外接球，球心O就是PC的中点，求出长方体的体对角线长，即得解.

设此球半径为R，

因底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为，

则2×2×PA，∴PA＝4，

可以把四棱锥P﹣ABCD补成一个以ABCD为底、PA为侧棱的长方体，

则这个长方体的外接球就是四棱锥P﹣ABCD的外接球，球心O就是PC的中点，

∴（2R）2＝PC2＝AP2+AB2+BC2＝42+22+22＝24，∴R，

则该球的体积为．

故答案为：.