Question

1．己知点O为坐标原点，△ABC为圆C₁：（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=1的内接正三角形，则$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$）的最小值为5．

Answer 1

分析 求得圆的圆心和半径，由三角形的中心可得$\overrightarrow{{C}_{1}A}$+$\overrightarrow{{C}_{1}B}$+$\overrightarrow{{C}_{1}C}$=$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$）=（$\overrightarrow{O{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{1}A}$）•（2$\overrightarrow{O{C}_{1}}$-$\overrightarrow{{C}_{1}A}$），运用向量的数量积的性质和定义，化简可得7-2cos∠OC₁A，再由向量共线可得最小值．

解答 解：圆C₁：（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=1的圆心为C₁（1，$\sqrt{3}$），半径为1，
由C₁为正三角形ABC的中心，可得$\overrightarrow{{C}_{1}A}$+$\overrightarrow{{C}_{1}B}$+$\overrightarrow{{C}_{1}C}$=$\overrightarrow{0}$，
则$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$）=（$\overrightarrow{O{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{1}A}$）•（$\overrightarrow{O{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{1}B}$+$\overrightarrow{O{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{1}C}$）
=（$\overrightarrow{O{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{1}A}$）•（2$\overrightarrow{O{C}_{1}}$-$\overrightarrow{{C}_{1}A}$）=2$\overrightarrow{O{C}_{1}}$²-$\overrightarrow{{C}_{1}A}$²+$\overrightarrow{O{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{C}_{1}A}$
=2×（1+3）-1-2cos∠OC₁A=7-2cos∠OC₁A，
当$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{O{C}_{1}}$同向共线时，cos∠OC₁A取得最大值1，
即有$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$）的最小值为7-2=5．
故答案为：5．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及圆的方程的运用，属于中档题．