Question

设数列{a_n}（n∈N^*）的前n项的和为S_n，满足a₁=1，

Sn+1

an+1

-

Sn

an

=

1

2n

（n∈N^*）．
（1）求证：S_n=（2-

1

2n-1

）a_n；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）通过累加法求出

Sn

an

的表达式，利用等比数列求出前n项和，推出结果．
（2）通过（1）说明的结果，利用求出S_n-S_n-1=a_n，n≥2，说明数列是等比数列，求出通项公式即可．

解答：解：（1）证明：数列{a_n}（n∈N^*）的前n项的和为S_n，满足a₁=1，

Sn+1

an+1

-

Sn

an

=

1

2n

（n∈N^*）．
所以

S2

a2

-

S1

a1

 =

1

2

，
 

S3

a3

-

S2

a2

=

1

4

；

S4

a4

-

S3

a3

=

1

8

；
…

Sn

an

-

Sn-1

an-1

=

1

2n-1

；
将n-1个式子相加可得：

Sn

an

-

S1

a1

=

1

2

+

1

22

+ 

1

23

+…+

1

2n-1

，
所以

Sn

an

=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

=

1- 1 2n-1

1- 1 2

=2-

1

2n-1

；
∴S_n=（2-

1

2n-1

）a_n；
（2）因为S_n=（2-

1

2n-1

）a_n；
所以S_n-1=（2-

1

2n-2

）a_n-1；（n≥2）
所以a_n=（2-

1

2n-1

）a_n-（2-

1

2n-2

）a_n-1；可得

1

2

an =an-1，
因为a₂=2，当n=1时，满足数列{a_n}是等比数列公比为2．
所以a_n=2^n-1．

点评：本题是中档题，考查数列的通项公式与数列的前n项和的求法，注意本题的解题的策略与方法，解决数列的常用方法．