Question

已知

a

=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，且x∈[-

π

3

，

π

4

]．
（Ⅰ）求

a

•

b

及|

a

+

b

|
（Ⅱ）若f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根据题意结合向量数量级的坐标表示与模的计算公式可得答案．
（II）由由（I）可得：f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|=2(cosx-

1

2

)2-

3

2

，设t=cosx，利用换元法可得
y=2(t-

1

2

)2-

3

2

，t∈[

2

2

，1]，利用二次函数的性质即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：因为

a

=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，
所以

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，
所以|

a

+

b

|=

| a |2+| b |2+2 a • b

=2|cosx|=2cosx，x∈[-

π

3

，

π

4

]．
（Ⅱ）由（I）可得：f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|
=cos2x-2cosx
=2cos²x-1-2cosx
=2(cosx-

1

2

)2-

3

2

∵x∈[-

π

3

，

π

4

]
∴cosx∈[

2

2

，1]，
设t=cosx，则t∈[

2

2

，1]，
所以y=2(t-

1

2

)2-

3

2

，
∴f(x)max=-1，f(x)min=-

2

．

点评：解决此类问题的关键是数量掌握向量的数量积的运算与向量求模公式，以及三角函数求值域的方法．