题目内容
【题目】已知椭圆C的中心在原点，离心率等于 
，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8 
y的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，
①若直线AB的斜率为 ，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
【答案】
（1）解：设C方程为 
，则 
，
由 
，a2=b2+c2，得a=4，
∴椭圆C的方程为 
（2）解：①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为 
，
代入 ，得x2+tx+t2﹣12=0，
由△＞0，解得﹣4＜t＜4，
由韦达定理得x1+x2=﹣t， 
．
∴ 
，
由此可得：四边形APBQ的面积 
，
∴当t=0， 
．
②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），
由 
整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，
∴ 
，
同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），
可得 
∴ 
， 
， 
，
所以直线AB的斜率为定值 
【解析】（1）设C方程为 ，则 ，由 ，a2=b2+c2 ， 解出即可得出．（2）①设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线AB的方程为 ，代入 ，得x2+tx+t2﹣12=0，
由△＞0，解得t范围，利用根与系数的关系可得|x1﹣x2|，由此可得：四边形APBQ的面积S．
②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．
