Question

13．设向量$\overrightarrow{a}$=（-1，2），如果向量$\overrightarrow{b}$=（m，1），如果$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$平行，那么$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的数量积等于$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由已知向量的坐标求出向量$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的坐标，再由向量$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$平行列式求出m的值，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的数量积可求．

解答 解：∵向量 $\overrightarrow{a}$=（-1，2），$\overrightarrow{b}$=（m，1），
∴$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（-1，2）+2（m，1）=（2m-1，4），
2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=2（-1，2）-（m，1）=（-2-m，3）．
由向量 $\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$平行，得
3×（2m-1）-4（-2-m）=0，解得：m=-$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1×（-$\frac{1}{2}$）+2×1=$\frac{5}{2}$．
故答案是：$\frac{5}{2}$．

点评 平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若 $\overrightarrow{a}$=（a₁，a₂），$\overrightarrow{b}$=（b₁，b₂），则 $\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$?a₁a₂+b₁b₂=0，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$?a₁b₂-a₂b₁=0．是基础题．