题目内容

设函数f（x）=sinx+cos（x+
π
6
），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，
π
2
]上的值域；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=
3
2
，且a=
3
2
b，求角B的值．
（1）f（x）=sinx+cos（x+
π
6
）
=sinx+cosxcos
π
6
-sinxsin
π
6

=
1
2
sinx+
3
2
cosx
=sin（x+
π
3
），
∵ω=1，∴T=2π，
∵x∈[0，
π
2
]，∴x+
π
3
∈[
π
3
，
5π
6
]，
则f（x）的值域为[
1
2
，1]；
（2）由（1）可知，f（A）=sin（A+
π
3
）=
3
2
，
∵0＜A＜π，∴
π
3
＜A+
π
3
＜
4π
3
，
∴A+
π
3
=
2π
3
，即A=
π
3
，
∵a=
3
2
b，且
a
sinA
=
b
sinB
，
∴
3
2
b
3
2
=
b
sinB
，即sinB=1，
∵0＜B＜π，
∴B=
π
2
．
练习册系列答案
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设函数f（x）=sinx，g（x）=
1
x
，如图是函数F（x）图象的一部分，则F（x）是（　　）
（2011•宝坻区一模）设函数f（x）=sinx+cos（x+
π
6
），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，
π
2
]上的值域；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=
3
2
，且a=
3
2
b，求角B的值．
定义运算a*b为：a*b=
a(a≤b)
b(a＞b)
，例如1*2=1，2*1=1，设函数f（x）=sinx*cosx，则函数f（x）的最小正周期为
2π
2π
，使f（x）＞0成立的集合为
(2kπ，2kπ+
π
2
)
(2kπ，2kπ+
π
2
)
．
（2011•杭州一模）设函数f（x）=
sinx+cosx-|sinx-cosx|
2
（x∈R），若在区间[0，m]上方程f（x）=-
3
2
恰有4个解，则实数m的取值范围是
[
5π
3
，
17π
6
)
[
5π
3
，
17π
6
)
．
（2013•安徽）设函数f（x）=sinx+sin（x+
π3
）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．

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