Question

设是函数的零点．
（1）证明：；
（2）证明：．

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析.

试题分析：（1）借助导数证明函数在是单调函数，进而确定函数在上有且只有一个零点，进而证明；（2）先将原不等式化为两个不等式与，先证明不等式，方法1先证明不等式，然后利用放缩法证明，从而证明不等式成立，方法2是在不等式的基础上利用数学归纳法直接证明不等式成立；再证明不等式
先考察函数的单调性证明，然后就时，将对进行放缩，，进而证明。
试题解析：（1）因为，，且在上的图像是一条连续曲线，
所以函数在内有零点．                           1分
因为，
所以函数在上单调递增．                           2分
所以函数在上只有一个零点，且零点在区间内．
而是函数的零点，
所以．                                   3分
（2）先证明左边的不等式：
因为，
由（1）知，
所以．                                   4分
即．
所以．                                  5分
所以．                   6分
以下证明．             ①
方法1（放缩法）：因为，                7分
所以
．                        9分
方法2（数学归纳法）：1）当时，，不等式①成立．
2）假设当（）时不等式①成立，即
．
那么

．
以下证明．                ②
即证．
即证．
由于上式显然成立，所以不等式②成立．
即当时不等式①也成立．
根据1）和2），可知不等式①对任何都成立．
所以．                            9分
再证明右边的不等式：
当时，．
由于，，
所以．                                  10分
由（1）知，且，所以．            11分
因为当时，，                      12分
所以当时，
．
所以当时，都有．
综上所述，．                       14分