Question

将10个白小球中的3个染成红色，3个染成蓝色，试解决下列问题：
（1）求取出3个小球中红球个数ξ的分布列和数学期望；
（2）求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意知红球的个数是3个，得到取出3个小球中红球个数ξ的可能值，从10个球中任取3个，实验包含的所有事件数C₁₀³，而其中恰有K个红球的结果数是C₃^KC₇^3-K，得到其中恰有k个红球的概率，写出分布列和期望．
（2）由题意知取出3个小球中红球个数多于白球个数，包括恰好1个红球和两个蓝球；恰好2个红球；恰好3个红球，分别作出三个事件的概率，这三个事件是互斥的，得到结果．

解答：解：（1）由题意知红球的个数是3个，
∴取出3个小球中红球个数ξ的可能值是0、1、2、3，
∵从10个球中任取3个，实验包含的所有事件数C₁₀³，
而其中恰有K个红球的结果数是C₃^KC₇^3-K，
∴其中恰有k个红球的概率为
P(X=ξ)=

C k 3 C 3-k 7

C 3 10

，(k=0，1，2，3)
∴随机变量X的分布列是

∴X的数学期望：EX=0×

7

24

+1×

21

40

+2×

7

40

+3×

1

120

=

9

10

（2）设“取出的3个球中红球数多于白球数”为事件A，
“恰好1个红球和两个蓝球”为事件A₁，“恰好2个红球”为事件A₂，
“恰好3个红球”为事件A₃；由题意知：A=A₁∪A₂∪A₃
又P(A1)=

C 1 3 C 2 3

C 3 10

=

3

40

，P(A2)=P(X=2)=

7

40

，P(A3)=P(X=3)=

1

120

∴P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=

3

40

+

7

40

+

1

120

=

31

120

．

点评：一般分布列的求法分为三步：
（1）首先确定随机变量 的取值有哪些；
（2）求出每种取值下的随机事件的概率；
（3）列表写出．