题目内容

对于任意实数a、b定义运算“*”，如下，则的值域为    ．
【答案】分析：根据新定义对于任意实数a、b定义运算“*”，就是取最小值，，讨论与log2x的大小关系，再根据新定义进行求解；
解答：解：对于任意实数a、b定义运算“*”，如下，
其实质就是去最小值，
，（x＞）
若，解得＜x≤1，此时=log2x，可得＜f（x）≤0，
若，解得x＞1，此时=，可得，＜0，
综上：f（x）≤0；
故答案为：（-∞，0]；
点评：此题主要考查函数值域的求法，以及新定义的理解，是一道基础题；
练习册系列答案
相关题目
设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的图象上两点，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，O为坐标原点，已知点M的横坐标为
1
2
．
（Ⅰ）求证：点M的纵坐标为定值；
（Ⅱ）定义定义Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的Sn，设an=
1
2Sn+1
(n∈N*)．若对于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，试求实数k的取值范围．
已知点M（0，-1），直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2（m，a∈R）交于A、B两点．
（1）当m=0时，有∠AOB=
π
3
，求曲线C的方程；
（2）当实数a为何值时，对任意m∈R，都有
OA
•
OB
为定值T？指出T的值；
（3）设动点P满足
MP
=
OA
+
OB
，当a=-2，m变化时，求点P的轨迹方程；
（4）是否存在常数M，使得对于任意的a∈（0，1），m∈R，都有
OA
•
OB
＜M恒成立？如果存在，求出的M得最小值；如果不存在，说明理由．
（Ⅰ）阅读理解：
①对于任意正实数a，b，∵(
a
-
b
)2≥0， ∴a-2
ab
+b≥0，∴a+b≥2
ab

只有当a=b时，等号成立．
②结论：在a+b≥2
ab
（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2
p
，
只有当a=b时，a+b有最小值2
p
．
（Ⅱ）结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答）
①若m＞0，只有当m=
 
时，m+
1
m
有最小值
 
．
②若m＞1，只有当m=
 
时，2m+
8
m-1
有最小值
 
．
（Ⅲ）探索应用：
学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图）．问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面积的最小值．
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已知点M（0，-1），直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2（m，a∈R）交于A、B两点．
（1）当m=0时，有∠AOB=
π
3
，求曲线C的方程；
（2）当实数a为何值时，对任意m∈R，都有
OA
•
OB
为定值T？指出T的值；
（3）设动点P满足
MP
=
OA
+
OB
，当a=-2，m变化时，求点P的轨迹方程；
（4）是否存在常数M，使得对于任意的a∈（0，1），m∈R，都有
OA
•
OB
＜M恒成立？如果存在，求出的M得最小值；如果不存在，说明理由．
已知点M（0，-1），直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2（m，a∈R）交于A、B两点．
（1）当m=0时，有，求曲线C的方程；
（2）当实数a为何值时，对任意m∈R，都有为定值T？指出T的值；
（3）设动点P满足，当a=-2，m变化时，求点P的轨迹方程；
（4）是否存在常数M，使得对于任意的a∈（0，1），m∈R，都有恒成立？如果存在，求出的M得最小值；如果不存在，说明理由．

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