题目内容
已知：
=(sinx+cosx，
(sinx-cosx))，
=(sinx+cosx，sinx+cosx)，函数f(x)=
•
（I）把f（x）化为Asin（?x+φ）+b的形式；
（II）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅲ）若f（α）=f（β），且α与β的终边不共线，求sin（α+β）的值．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
（I）把f（x）化为Asin（?x+φ）+b的形式；
（II）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅲ）若f（α）=f（β），且α与β的终边不共线，求sin（α+β）的值．
分析：（Ⅰ）由题意可得根据两角差得正弦该生可得f(x)=2sin(2x-
)+1．
（Ⅱ）由（I）可得结合正弦函数的周期性与单调区间可得函数的周期与单调区间．
（Ⅲ）由题意可得：α-β=kπ或α+β=kπ+
，k∈Z，由α与β的终边不共线，可得α+β=kπ+
，金额得到答案．
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由（I）可得结合正弦函数的周期性与单调区间可得函数的周期与单调区间．
（Ⅲ）由题意可得：α-β=kπ或α+β=kπ+
| 5π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
解答：解：（Ⅰ）由题意可得：
f(x)=(sinx+cosx)2+
(sin2x-cos2x)
=1+sin2x-
cos2x=2sin(2x-
)+1…（4分）
（Ⅱ）T=π…（5分）
由正弦函数的单调区间可得：2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
kπ-
≤x≤kπ+
所以单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈Z．…（7分）
（Ⅲ）由2sin(2α-
)+1=2sin(2β-
)+1
得：2α-
=2β-
+2kπ或2α-
=2kπ+π-(2β-
)…（8分）
所以α-β=kπ或α+β=kπ+
，k∈Z
因为α与β的终边不共线，所以α+β=kπ+
当k为偶数时，sin(α+β)=
；当k为奇数时，sin(α+β)=-
．…（10分）
f(x)=(sinx+cosx)2+
| 3 |
=1+sin2x-
| 3 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）T=π…（5分）
由正弦函数的单调区间可得：2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
所以单调递增区间为[kπ-
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
（Ⅲ）由2sin(2α-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
得：2α-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
所以α-β=kπ或α+β=kπ+
| 5π |
| 6 |
因为α与β的终边不共线，所以α+β=kπ+
| 5π |
| 6 |
当k为偶数时，sin(α+β)=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握正弦函数的有关性质，以及平面向量的数量积运算．
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