Question

公差不为零的等差数列{a_n}中，已知其前n项和为S_n，若S₈=S₅+45，且a₄，a₇，a₁₂成等比数列
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n
（Ⅱ）当b_n=时，求数列{b_n}的前n和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由等差数列的性质和S₈=S₅+45得a₇=15，再由通项公式代入另一个条件列出方程组，求出首项和公差，代入通项公式化简即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的前n项和公式求出S_n，再代入b_n=化简后再裂项，代入数列{b_n}的前n和T_n化简．
解答：解：（Ⅰ）由S₈=S₅+45得，S₈-S₅=45，
∴a₆+a₇+a₈=45，即3a₇=45，得a₇=15，
又∵，设公差为d≠0，
∴
解得，
∴a_n=2n+1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∴，

∴．
点评：本题考查了等差和等比数列的性质，通项公式和前n项和公式的应用，以及裂项相消法求数列的前n项和．