Question

如图，椭圆C₁与椭圆C₂中心在原点，焦点均在x轴上，且离心率相同．椭圆C₁的长轴长为2

2

，且椭圆C₁的左准线l：x=-2被椭圆C₂截得的线段ST长为2

3

，已知点P是椭圆C₂上的一个动点．
（1）求椭圆C₁与椭圆C₂的方程；
（2）设点A₁为椭圆C₁的左顶点，点B₁为椭圆C₁的下顶点，若直线OP刚好平分A₁B₁，求点P的坐标；
（3）若点M，N在椭圆C₁上，点P，M，N满足

OP

=

OM

+2

ON

，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C₁方程为

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1(a1＞b1＞0)，椭圆C₂方程为

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1(a2＞b2＞0)，由于2a1=2

2

，可得a1=

2

，又其左准线x=-2=-

a 2 1

c1

，可得c₁=1，则b₁=

a 2 1 - c 2 1

．可得椭圆C₁的离心率为e1=

2

2

．
由于两个椭圆的离心率相同可得：椭圆C₂中

a

2 2

=2

b

2 2

，由线段的ST长为2

3

，得S(-2，

3

)，代入椭圆C₂的方程得可得

b

2 2

，即可得到

a

2 2

．
（2）利用中点坐标公式可得线段A₁B₁的中点坐标，进而得到直线OP的方程，与椭圆的方程联立即可得到点P的坐标；
（3）设P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

x

2 0

+2

y

2 0

=10，

x

2 1

+2

y

2 1

=2，

x

2 2

+2

y

2 2

=2，由

OP

=

OM

+2

ON

可得：（x₀，y₀）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），利用向量相等可得

x0=x1+2x2 y0=y1+2y2

于是

x

2 0

+2

y

2 0

=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2=10，展开即可得出x₁x₂+2y₁y₂=0，进而得到k_OM•k_ON为定值．

解答：解：（1）设椭圆C₁方程为

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1(a1＞b1＞0)，椭圆C₂方程为

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1(a2＞b2＞0)，
则2a1=2

2

，∴a1=

2

，又其左准线x=-2=-

a 2 1

c1

，
∴c₁=1，则b₁=1
∴椭圆C₁方程为

x2

2

+y2=1，其离心率为e1=

2

2

，
∴椭圆C₂中

a

2 2

=2

b

2 2

，
由线段的ST长为2

3

，得S(-2，

3

)，代入椭圆C₂

4

2 b 2 2

+

3

b 2 2

=1，得

b

2 2

=5，
∴

a

2 2

=10，
∴椭圆C₂方程为

x2

10

+

y2

5

=1； 
（2）A1(-

2

，0)，B1(0，-1)，
则A₁B₁中点为(-

2

2

，-

1

2

)，
∴直线OP为y=

2

2

x，
由

x2 10 + y2 5 =1 y= 2 2 x

，得

x= 5 y= 10 2

或

x=- 5 y=- 10 2

，
∴点P的坐标为(

5

，

10

2

)，(-

5

，-

10

2

)； 
（3）设P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则

x

2 0

+2

y

2 0

=10，

x

2 1

+2

y

2 1

=2，

x

2 2

+2

y

2 2

=2，
由

OP

=

OM

+2

ON

可得：（x₀，y₀）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），
∴

x0=x1+2x2 y0=y1+2y2

∴

x

2 0

+2

y

2 0

=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2
=

x

2 1

+4x1x2+4

x

2 2

+2

y

2 1

+8y1y2+8

y

2 2

=(

x

2 1

+2

y

2 1

)+4(

x

2 2

+2

y

2 2

)+6(x1x2+2y1y2)=10+6(x1x2+2y1y2)=10
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴

y1y2

x1x2

=-

1

2

，即kOM•kON=-

1

2

，
∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为-

1

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、向量相等、斜率计算公式、整体代入等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．