Question

已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线x²-

y2

2

=1于A、B两点，且

ON

=

1

2

（

OA

+

OB

）．
（1）求直线AB的方程；
（2）若过点N的直线交双曲线于C、D两点，且

CD

•

AB

=0，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

Answer 1

分析：（1）设存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点符合题意，依据

ON

=

1

2

（

OA

+

OB

），可得N（1，2）为中点，利用韦达定理，可求k=1，继而得到直线方程．
（2）由（1）可得k的值，计算可得A、B的坐标，由CD垂直平分AB，可得直线CD的方程，代入双曲线方程，整理得x²+6x-11=0；记C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），以及CD的中点为M（x₀，y₀），则x₃，x₄是方程②的两个根；计算可得，|MA|=|MB|=|MC|=|MD|，即可得么A、B、C、D四点共圆．

解答：解　（1）由题意知直线AB的斜率存在．
设直线AB：y=k（x-1）+2，代入x²-

y2

2

=1
得（2-k²）x²-2k（2-k）x-（2-k）²-2=0．（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程（*）的两根，
∴2-k²≠0．
且x₁+x₂=

2k(2-k)

2-k2

．
∵

ON

=

1

2

（

OA

+

OB

），
∴N是AB的中点，
∴

x1+x2

2

=1，
∴k（2-k）=-k²+2，k=1，
∴直线AB的方程为y=x+1．
（2）共圆．将k=1代入方程（*）得x²-2x-3=0，解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，4）．
∵

CD

•

AB

=0，∴CD垂直AB，
∴CD所在直线方程为
y=-（x-1）+2，
即y=3-x，代入双曲线方程整理得x²+6x-11=0，
令C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）及CD中点M（x₀，y₀）
则x₃+x₄=-6，x₃•x₄=-11，
∴x₀=

x3+x4

2

=-3，y₀=6，
即M（-3，6）．
|CD|=

1+k2

|x₃-x₄|
=

1+k2

(x3+x4)2-4x3x4

=4

10

，
|MC|=|MD|=

1

2

|CD|=2

10

，
|MA|=|MB|=2

10

，
即A、B、C、D到M的距离相等，
∴A、B、C、D四点共圆．

点评：本题考查直线与双曲线的综合运用，注意解析几何证明四点共圆问题时，一般转化为四点或多点到定点的距离相等，即点与点之间的距离来求解．