Question

已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线x²-=1于A、B两点，且=（+）.

（1）求直线AB的方程；

（2）若过N的直线交双曲线于C、D两点，且·=0，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

Answer 1

（1）直线AB的方程为y=x+1（2）A、B、C、D四点共圆

解析:

（1）由题意知直线AB的斜率存在.

设直线AB：y=k（x-1）+2，代入x²-=1

得(2-k²)x²-2k(2-k)x-(2-k)²-2=0.                                                                  (*)

令A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),则x₁、x₂是方程（*）的两根，

∴2-k²≠0且x₁+x₂=.

∵=（+），∴N是AB的中点，∴=1,

∴k（2-k）=-k²+2,k=1,

∴直线AB的方程为y=x+1.

（2）将k=1代入方程（*）得x²-2x-3=0,

解得x=-1或x=3,

∴不妨设A（-1，0），B（3，4）.

∵·=0，∴CD垂直平分AB，

∴CD所在直线方程为y=-(x-1)+2,

即y=3-x,代入双曲线方程整理得x²+6x-11=0,

令C（x₃,y₃）,D(x₄,y₄)及CD中点M（x₀,y₀）

则x₃+x₄=-6,x₃·x₄=-11,

∴x₀==-3，y₀=6，即M(-3,6).

|CD|=|x₃-x₄|==4；

|MC|=|MD|=|CD|=2，

|MA|=|MB|=2，

即A、B、C、D到M距离相等，∴A、B、C、D四点共圆.