Question

某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(6<x<11),年销售为u万件,若已知-u与(x-)²成正比,且售价为10元时,年销量为28万件.

(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式;

(2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.

Answer 1

:(1)设-u=k(x-)²,

∵售价为10元时,年销量为28万件,

∴-28=k(10-)²,

解得k=2.

∴u=-2(x-)²+=-2x²+21x+18.

∴y=(-2x²+21x+18)(x-6)

=-2x³+33x²-108x-108(6<x<11).

(2)y′=-6x²+66x-108

=-6(x²-11x+18)

=-6(x-2)(x-9).

令y′=0,

得x=2(舍去)或x=9,

显然,当x∈(6,9)时,y′>0;

当x∈(9,11)时,y′<0.

∴函数y=-2x³+33x²-108x-108在(6,9)上是递增的,在(9,11)上是递减的.

∴当x=9时,y取最大值,且y_max=135,

∴售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元.