Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把两边同时乘以ρ，把 x=ρcosθ，y=ρsinθ 代入可得圆C的直角坐标方程．
 （Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 t²-3t+4=0，根据直线l的参数方程中参数的几何意义可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂，再利用一元二次方程根与系数的关系求出结果．
解答：解：（Ⅰ）由 得 x²+y²-2y=0 即 x²+=5．
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 +=5，即 t²-3t+4=0．
由于△=-4×4=2＞0，故可设 t₁、t₂是上述方程的两实根，所以 ．
直线l过点P（3，），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=3．
点评：本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．