题目内容

在数列{an}中，a1=6，an=3an-1+3n（n≥2，且n∈N*）
（1）求证数列{
an3n
}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an-3n，求数列{bn}的前n项和Sn．
分析：（1）由an=3an-1+3n，等式两边同除3n得，
an
3n
=
an-1
3n-1
+1，构造等差数列{
an
3n
}并求出共通项公式，进而可得数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an-3n，其通项由一个等差数列和等比数列相乘得到，则用错位相减法可求得数列{bn}的前n项和Sn．
解答：解：（1）由an=3an-1+3n得：
an
3n
=
an-1
3n-1
+1，
即：{
an
3n
}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴
an
3n
=n+1，
∴an=（n+1）•3n（n∈N*）
（2）∵bn=n•3n
∴Sn=1×31+2×32+3×33+…+n×3n，…①
3Sn=1×32+2×33+…+（n-1）×3n+n×3n+1，…②
②-①得
2Sn=-（31+32+33+…+3n）+n×3n+1=
2n-1
2
•3n+1+
3
2

∴Sn=
2n-1
4
•3n+1+
3
4
点评：本题考查了构造法求数列的通项公式，以及错位相减法求数列的前n项和，难度中等
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

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