Question

【题目】已知函数.

(1)讨论极值点的个数；

(2)若是的一个极值点，且，证明: .

Answer 1

【答案】(1) 当时，无极值点；当时，有个极值点；当或时，有个极值点；(2)证明见解析

【解析】

（1）求导得到；分别在、、和四种情况下根据的符号确定的单调性，根据极值点定义得到每种情况下极值点的个数；（2）由（1）的结论和可求得，从而得到，代入函数解析式可得；令可将化为关于的函数，利用导数可求得的单调性，从而得到，进而得到结论.

（1）

①当时，

当时，；当时，

在上单调递减；在上单调递增

为的唯一极小值点，无极大值点，即此时极值点个数为：个

②当时，令，解得：，

⑴当时，

和时，；时，

在，上单调递增；在上单调递减

为的极大值点，为的极小值点，即极值点个数为：个

⑵当时，，此时恒成立且不恒为

在上单调递增，无极值点，即极值点个数为：个

⑶当时，

和时，；时，

在，上单调递增；在上单调递减

为的极大值点，为的极小值点，即极值点个数为：个

综上所述：当时，无极值点；当时，有个极值点；当或时，有个极值点

（2）由（1）知，若是的一个极值点，则

又，即

令，则 ，

则

当时，，

当时，；当时，

在上单调递增；在上单调递减

，即