Question

【题目】已知函数，

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若且，设是函数的零点.

（i）证明：时存在唯一且；

（ii）若，记，证明：.

Answer 1

【答案】(1) 见解析；(2) （i）证明见解析.(2)（ii）证明见解析.

【解析】

(1)对求导，分析导函数的正负得单调区间；

(2) （i）根据(1)得函数的单调性，判断端点的函数的正负可得证；

(2) （ii）运用数列的裂项相消求和和不等式放缩技巧得证.

(1)由已知得,

当时，，所以在上单调递增；

当时，，，

，

所以在和单调递减，

在单调递增.

综上可得：

当时，在上单调递增；

当时，在和单调递减，

在单调递增.

(2) （i）由(1)知：，在上单调递增；且，

所以在存在唯一的零点，

而，

且时，，

所以：时存在唯一且，

故得证.

(2) （ii）当时，，所以

所以，

所以，

又因为，

所以，

所以，所以，又

所以

所以，

故得证.