题目内容

设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点M(
2
，1)，且左焦点为F1(-
2
，0)
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交与两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|
AP
|•|
QB
|=|
AQ
|•|
PB
|，证明：点Q总在某定直线上．
（Ⅰ）由题意得
c2=2
2
a2
+
1
b2
=1
c2=a2-b2
，
解得a2=4，b2=2，
所以椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
2
=1．

（Ⅱ）设点Q、A、B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2）．
由题设知|
AP
|，|
PB
|，|
AQ
|，|
QB
|均不为零，记λ=
|
AP
|
|
PB
|
=
|
AQ
|
|
QB
|
，则λ＞0且λ≠1
又A，P，B，Q四点共线，从而
AP
=-λ
PB
，
AQ
=λ
QB

于是4=
x1-λx2
1-λ
，1=
y1-λy2
1-λ
，x=
x1+λx2
1+λ
，y=
y1+λy2
1+λ

从而
x21
-λ2
x22
1-λ2
=4x①，
y21
-λ2
y22
1-λ2
=y②，
又点A、B在椭圆C上，即x12+2y12=4 ③，x22+2y22=4 ④，
①+②×2并结合③、④得4x+2y=4，
即点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上．
练习册系列答案
相关题目
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦点为F，它与直线l：y=k（x+1）相交于P、Q两点，l与x轴的交点M到椭圆左准线的距离为d，若椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项．
（1）求椭圆离心率e；
（2）设N与M关于原点O对称，若以N为圆心，b为半径的圆与l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求椭圆C的方程．
精英家教网设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x-
3
y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
（2012•盐城一模）设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值
5
+2
5
+2
．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若P 是椭圆上的一点，|
PF1
|+|
PF2
|=4，离心率e=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求点P的坐标；
（3）设过定点P（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e=
2
2
，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与直线x-
3
y-3=0相切．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线y=x交椭圆C于A、B两点，D为椭圆上异于A、B的点，求△ABD面积的最大值．

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