已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别为F1.F2.点(1.-$\frac{\sqrt{2}}{2}$)是椭圆C上的点.离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)点A(x0.y0)(y0≠0)在椭圆C上.若点N与点A关于原点对称.连接AF2并延长与椭圆C的另一个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）是椭圆C上的点，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点A（x₀，y₀）（y₀≠0）在椭圆C上，若点N与点A关于原点对称，连接AF₂并延长与椭圆C的另一个交点为M，连接MN，求△AMN面积的最大值．

分析（Ⅰ）离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，又b²=a²-c²=c²，将（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，解得c=1，即可求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AM的方程是x=my+1，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出|AM|，求出点O（0，0）到直线AM的距离，可得△OAM的面积，利用基本不等式，即可求△OAM的面积的最大值．△AMN面积的最大值是△OAM的面积的最大值的2倍．

解答解：（Ⅰ）由题意可知：离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，
b²=a²-c²=c²，
将（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，
解得：c=1，
则a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）椭圆的右焦点F（1，0），设直线AM的方程是x=my+1，与$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$联立，
可得（m²+2）y²+2my-1=0，
设A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），则x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，
于是|AM|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=$\frac{2\sqrt{2}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$，点O（0，0）到直线MN的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$．
于是△AMN的面积s=2s_OAM=|MN|d=$\frac{2\sqrt{2（{m}^{2}+1）}}{{m}^{2}+2}$=2$\sqrt{\frac{2}{{m}^{2}+1+\frac{1}{{m}^{2}+1}+2}}$．
∵${m}^{2}+1+\frac{1}{{m}^{2}+1}≥2$，∴△AMN的面积S$≤2×\sqrt{\frac{2}{2+2}}=\sqrt{2}$．当且仅当即m=0时取到最大值$\sqrt{2}$．