Question

某商店销售甲、乙、丙三种日用品，相关信息如下列两表所示：
表（1）

类型	甲	乙	丙
单价（元/件）	20	15	10

表（2）

类型	甲	乙	丙
件数	3	4	3

某人随机从这10件商品中购买2件，假设每件商品被此人买走的概率相等，记此人买这两件商品所付出的总金额为ξ（元）．
（1）求此人所付出的金额不超过30元的概率；
（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）此人付款不超过30元，包括四种情况，这四种结果之间的关系是互斥的，根据等可能事件的概率和互斥事件的概率公式得到结果．
（2）由题意知ξ的所有可能值为20，25，30，35，40．集合变量对应的事件和等可能事件的概率写出变量的概率，列出分布列，做出期望值．

解答：解：（1）此人所付出的金额不超过30元的概率为P=

C 2 3

C 2 10

+

C 1 3 • C 1 4

C 2 10

+

C 2 4

C 2 10

+

C 1 3 • C 1 3

C 2 10

=

2

3

．…（4分）
（2）ξ的所有可能值为20，25，30，35，40．…（5分）
∴P(ξ=20)=

C 2 3

C 2 10

=

1

15

，P(ξ=25)=

C 1 3 • C 1 4

C 2 10

=

4

15

，
P(ξ=30)=

C 2 4

C 2 10

+

C 1 3 • C 1 3

C 2 10

=

5

15

=

1

3

，…（7分）
P(ξ=35)=

C 1 4 • C 1 3

C 2 10

=

4

15

，P(ξ=40)=

C 2 3

C 2 10

=

1

15

，…（9分）
∴随机变量ξ的概率分布列为

ξ	20	25	30	35	40
P	1 15	4 15	1 3	4 15	1 15

…（10分）
∴Eξ=20×

1

15

+25×

4

25

+30×

1

3

+35×

4

15

+40×

1

15

=30．…（12分）

点评：本题考查古典概型的概率公式、互斥随机的概率公式、随机变量的数学期望公式、求随机变量的分布列的步骤．