Question

已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为．

(1)求a，b的值；

(2)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)设，当的斜率为1时，其方程为， 　　∴O到的距离为，即；3分 　　又∵，∴；4分 　　(2)C上存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有＝＋成立；5分 　　由(1)知C的方程为，设A，B． 　　①当不垂直轴时，设的方程为， 　　∵＝＋，∴且；7分 　　整理得 　　又A，B在曲线C上，则，； 　　∴(＊)；8分 　　将代入并化简得： 　　，，∴；10分 　　代入(＊)式解得：， 　　∴P，的方程为；12分 　　②当垂直轴时，由＋＝(2，0)知C上不存在点P使＝＋成立；13分 　　综上，C上存在点P使＝＋成立，此时的方程为；14分