题目内容

已知正方形的边长为2，分别是边的中点．
（1）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；
（2）从这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求随机变量的分布列与数学期望．

（1）；（2）详见解析

解析试题分析：（1）首先判断这是一个几何概型，然后找出符合条件的区域与总区域的面积，利用面积之比即可算出相应的古典概型的概率；（2）先确定这八个点连线距离的几种情况，然后就不同的的值进行计算，利用离散型随机变量的计算方法列表并计算相应的数学期望。
试题解析：（1）这是一个几何概型．所有点构成的平面区域是正方形的内部，其面积是．
1分
满足的点构成的平面区域是以为圆心，为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，它可以看作是由一个以为圆心、为半径、圆心角为的扇形的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（△和△）内部构成．                        2分

其面积是．      3分
所以满足的概率为．       4分
（2）从这八个点中，任意选取两个点，共可构成条不同的线段．
5分
其中长度为1的线段有8条，长度为的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为的线段有8条，长度为的线段有2条．
所以所有可能的取值为．                    7分
且，        ，        ，
，      ．                9分
所以随机变量的分布列为：











练习册系列答案
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一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个． 求：
（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；
（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，取球次数最多不超过4次，求取球次数的概率分布列及期望．

为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）

高校
相关人数
抽取人数
A
18

B
36
2
C
54

 
（1）求,；
（2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，
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为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对1OO名男生和100名女生进行了不记 名的问卷调查.得到了如下的统计结果：
表1:男生上网时间与频数分布表

表2:女生上网时间与频数分布表

(I)若该大学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；
(II)完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性 别有关”？
表3：

为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：

（Ⅰ）若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少?
（Ⅱ）若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验．
求这两种金额之和不低于20元的概率；
②若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望．

一个口袋中有个白球和个红球且，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖.
（Ⅰ）试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率；
（Ⅱ）若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ）记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取最大值.

某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)， [140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题．

（Ⅰ）求分数在[120,130)内的频率；
（Ⅱ）若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为＝105)作为这组数据的平均分，据此估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．

已知函数
（Ⅰ）若是从三个数中任取的一个数，是从四个数中任取的一个数，求为偶函数的概率；
（Ⅱ）若,是从区间任取的一个数，求方程有实根的概率．

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望.
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

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