Question

如图所示，设曲线上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，…，直角顶点在曲线上，设A_n的坐标为（a_n，0），A为原点
（1）求a₁，并求出a_n和a_n-1 n∈N^*之间的关系式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知，由此能求出a₁，利用△A_n-1B_nA_n为等腰直角三角形，且B_n为直角顶点，求出B_n点的横纵坐标，再根据B_n点为函数y=（x＞0）图象上的点，坐标满足函数y=（x＞0）的解析式，就可得到a_n和a_n-1 之间的关系式．
（2）由（1）知数列{}是首项为4，公差为4的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由b_n===，能求出数列{b_n}的前n项和S_n．
解答：解：（1）∵曲线上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，…，直角顶点在曲线上，设A_n的坐标为（a_n，0），A为原点，
∴，
解得a₁=2．
过B_n点作B_nH⊥x轴，垂足为H，
∵△A_n-1B_nA_n为等腰直角三角形，且B_n为直角顶点，
∴|BnH|=|An-1An|=，
∴B_n点的纵坐标为，
∵△A_n-1B_nA_n为等腰直角三角形，且B_n为直角顶点，
∴H点为线段A_n-1A_n的中点，
∴H点横坐标为，
∵B_nH⊥x轴，∴B_n点的横坐标也为，
∵B_n点为函数y=（x＞0）图象上的点，
∴•=1
∴=4．
（2）∵=4，a₁=2，
∴数列{}是首项为4，公差为4的等差数列，
∴，
∴．
（3）∵b_n=
=
=，
∴S_n=（）+（）+…+（）
=．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意数与函数的综合应用．