Question

如图所示，设曲线y=

1

x

上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，…，直角顶点在曲线上y=

1

x

，设A_n的坐标为（a_n，0），A₀为原点
（1）求a₁，并求出a_n和a_n-1 n∈N^*之间的关系式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

2

an-1+an

(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由题设知a1=

a1

2

+

2

a1

，由此能求出a₁，利用△A_n-1B_nA_n为等腰直角三角形，且B_n为直角顶点，求出B_n点的横纵坐标，再根据B_n点为函数y=

1

x

（x＞0）图象上的点，坐标满足函数y=

1

x

（x＞0）的解析式，就可得到a_n和a_n-1 之间的关系式．
（2）由（1）知数列{an2}是首项为4，公差为4的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由b_n=

2

an-1+an

=

1

n + n-1

=

n

-

n-1

，能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵曲线y=

1

x

上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，…，直角顶点在曲线上y=

1

x

，设A_n的坐标为（a_n，0），A₀为原点，
∴a1=

a1

2

+

2

a1

，
解得a₁=2．
过B_n点作B_nH⊥x轴，垂足为H，
∵△A_n-1B_nA_n为等腰直角三角形，且B_n为直角顶点，
∴|BnH|=

1

2

|An-1An|=

an-an-1

2

，
∴B_n点的纵坐标为

an-an-1

2

，
∵△A_n-1B_nA_n为等腰直角三角形，且B_n为直角顶点，
∴H点为线段A_n-1A_n的中点，
∴H点横坐标为

an+an-1

2

，
∵B_nH⊥x轴，∴B_n点的横坐标也为

an+an-1

2

，
∵B_n点为函数y=

1

2

（x＞0）图象上的点，
∴

an-an-1

2

•

an+an-1

2

=1
∴an2-an-12=4．
（2）∵an2-an-12=4，a₁=2，
∴数列{an2}是首项为4，公差为4的等差数列，
∴an2=4n，
∴an=2

n

．
（3）∵b_n=

2

an-1+an

=

1

n + n-1

=

n

-

n-1

，
∴S_n=（

1

-

0

）+（

2

-

1

）+…+（

n

-

n-1

）
=

n

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意数与函数的综合应用．