Question

△ABC的内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c．若 a，b，c的倒数成等差数列，
（Ⅰ）求证B＜

π

2

（Ⅱ）若A，B，C也成等差数列，求证△ABC为等边三角形．

Answer 1

分析：（I）假设B≥

π

2

则b为最大边，有b＞a＞0，b＞c＞0，可得

2

b

＜

1

a

+

1

c

与已知矛盾．
（II）先确定B的度数，再利用a，b，c的倒数成等差数列，及正弦定理，即可证得结论．

解答：解：（I）假设B≥

π

2

则有b＞a＞0，b＞c＞0
则

1

b

＜

1

a

，

1

b

＜

1

c

可得

2

b

＜

1

a

+

1

c

与已知矛盾，
假设不成立，原命题正确．
（II）∵三内角A、B、C的度数成等差数列
∴2B=A+C，
∵A+B+C=180°，
∴B=60°
设A=60-t，C=60+t．
则

2

b

=

1

a

+

1

c

⇒bc+ba=2ac
⇒sin60°sinC+sin60°sinA=2sinAsinC
⇒sin60°[sin（60°+t）+sin（60°-t）]=2sin（60°+t）sin（60°-t）
⇒

3

2

cost=2cos²t-

1

2

解得，cost=1，或cost=-

1

4

∵t＜

π

2

，
∴cost=1，t=0°
故A=B=C=60°即△ABC为等边三角形．

点评：本题考查正弦定理，考查等差数列与等比数列的综合，解题的关键是确定角与边的关系．（I）问使用反证法，比较简单．