题目内容
【题目】已知
关于
的方程
在
上恰有3个解，
存在
，使不等式
成立.
（1）若
为真命题，求正数
的取值范围；
（2）若
为真命题，且
为假命题，求正数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由
，
，可得
，当命题
为真，结合正弦函数的图像可得
，即可求出结论；
（2）命题
为真，即存在
，使不等式
成立，转化为
，设
，只需
，由，
，求出函数的最大值，即求出为真时
的取值范围. 
为真命题，且
为假命题，分为真假和真假，分别求出的范围，即可求解.
解：（1）因为，，所以.
因为为真命题，所以
在
上恰有3个解，
∴
，
所以，所以
.
当为真命题时，的取值范围是.
（2）不等式等价于
.
设
，
，所以，则
.
当为真命题时，
.
因为为真命题，且
为假命题，所以与中一真一假，
①当真假时，
.
②当真假时，
解得
或
.
综上，的取值范围是
.
【题目】随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活，在家里不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，所以选择网购的人数在逐年增加.某网店统计了2014年一2018年五年来在该网店的购买人数
（单位：人）各年份的数据如下表：
年份（ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 24 | 27 | 41 | 64 | 79 |
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合
与时间
（单位：年）的关系，请通过计算相关系数
加以说明，（若
，则该线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式
参考数据
（2）该网店为了更好的设计2019年的“双十一”网购活动安排，统计了2018年“双十一”期间8个不同地区的网购顾客用于网购的时间x（单位：小时）作为样本，得到下表
地区 |
|
|
|
|
|
|
|
|
时间 | 0.9 | 1.6 | 1.4 | 2.5 | 2.6 | 2.4 | 3.1 | 1.5 |
①求该样本数据的平均数
；
②通过大量数据统计发现，该活动期间网购时间
近似服从正态分布
，如果预计2019年“双十一”期间的网购人数大约为50000人，估计网购时间
的人数.
（附：若随机变量
服从正态分布
则
，
【题目】为研究女高中生身高与体重之间的关系，一调查机构从某中学中随机选取8名女高中生，其身高
和体重
数据如下表所示：
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
身高 | 164 | 160 | 158 | 172 | 162 | 164 | 174 | 166 |
体重 | 60 | 46 | 43 | 48 | 48 | 50 | 61 | 52 |
该调查机构绘制出该组数据的散点图后分析发现，女高中生的身高与体重之间有较强的线性相关关系.
（1）调查员甲计算得出该组数据的线性回归方程为
，请你据此预报一名身高为
的女高中生的体重；
（2）调查员乙仔细观察散点图发现，这8名同学中，编号为1和4的两名同学对应的点与其他同学对应的点偏差太大，于是提出这样的数据应剔除，请你按照这名调查人员的想法重新计算线性回归话中，并据此预报一名身高为的女高中生的体重；
（3）请你分析一下，甲和乙谁的模型得到的预测值更可靠？说明理由.
附：对于一组数据
，其回归方程
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：
.
