题目内容

已知数列满足,我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列：当时,得到有穷数列：.

（Ⅰ）求当为何值时；

（Ⅱ）设数列满足, ，求证：取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列；

（Ⅲ）若，求的取值范围.

（Ⅰ）当为何值时

         (Ⅱ)证明略

        （Ⅲ）


解析:

（Ⅰ）

 

(Ⅱ) 解法一：,,

当时, ,

当时,,,

当时,,.

一般地, 当时,可得一个含有项的有穷数列.

下面用数学归纳法证明.

(1)当时, ,显然,可得一个含有2项的有穷数列

(2)假设当时,,得到一个含有项的有穷数列,其中

,则时,,,

     由假设可知, 得到一个含有项的有穷数列,其中.

所以,当时, 可以得到一个含有项的有穷数列,,其中

由(1),(2)知,对一切,命题都成立.

解法二：

故取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列.

（Ⅲ）即,

所以要使,当且仅当它的前一项满足.

由于,所以只须当时,都有

由,得, 解得.

练习册系列答案
相关题目
阅读下面一段文字：已知数列{an}的首项a1=1，如果当n≥2时，an-an-1=2，则易知通项an=2n-1，前n项的和Sn=n2．将此命题中的“等号”改为“大于号”，我们得到：数列{an}的首项a1=1，如果当n≥2时，an-an-1＞2，那么an＞2n-1，且Sn＞n2．这种从“等”到“不等”的类比很有趣．由此还可以思考：要证Sn＞n2，可以先证an＞2n-1，而要证an＞2n-1，只需证an-an-1＞2（n≥2）．结合以上思想方法，完成下题：
已知函数f（x）=x3+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an），若数列{an}的前n项的和为Sn，求证：Sn≥2n-1．

已知数列满足且对一切,

有

（Ⅰ）求证：对一切

（Ⅱ）求数列通项公式.   

（Ⅲ）求证：

【解析】第一问利用，已知表达式，可以得到，然后得到，从而求证 。

第二问，可得数列的通项公式。

第三问中，利用放缩法的思想，我们可以得到

然后利用累加法思想求证得到证明。

解:  (1) 证明:

 

 
阅读下面一段文字：已知数列{an}的首项a1=1，如果当n≥2时，an-an-1=2，则易知通项an=2n-1，前n项的和Sn=n2．将此命题中的“等号”改为“大于号”，我们得到：数列{an}的首项a1=1，如果当n≥2时，an-an-1＞2，那么an＞2n-1，且Sn＞n2．这种从“等”到“不等”的类比很有趣．由此还可以思考：要证Sn＞n2，可以先证an＞2n-1，而要证an＞2n-1，只需证an-an-1＞2（n≥2）．结合以上思想方法，完成下题：
已知函数f（x）=x3+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an），若数列{an}的前n项的和为Sn，求证：Sn≥2n-1．

（本小题满分14分）

阅读下面一段文字：已知数列的首项，如果当时，，则易知通项，前项的和. 将此命题中的“等号”改为“大于号”，我们得到：数列的首项，如果当时，，那么，且. 这种从“等”到“不等”的类比很有趣。由此还可以思考：要证，可以先证，而要证，只需证（）. 结合以上思想方法，完成下题：

已知函数，数列满足，，若数列的前项的和为，求证：.
阅读下面一段文字：已知数列{an}的首项a1=1，如果当n≥2时，an-an-1=2，则易知通项an=2n-1，前n项的和Sn=n2．将此命题中的“等号”改为“大于号”，我们得到：数列{an}的首项a1=1，如果当n≥2时，an-an-1＞2，那么an＞2n-1，且Sn＞n2．这种从“等”到“不等”的类比很有趣．由此还可以思考：要证Sn＞n2，可以先证an＞2n-1，而要证an＞2n-1，只需证an-an-1＞2（n≥2）．结合以上思想方法，完成下题：
已知函数f（x）=x3+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an），若数列{an}的前n项的和为Sn，求证：Sn≥2n-1．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网