Question

过点P（2，1）作直线l分别交x，y正半轴于A，B两点．
（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
（2）当|PA|•|PB|取最小值时，求直线l的方程．

Answer 1

解：（1）设所求的直线方程为（a＞0，b＞0），由已知．
于是 ≤=，当且仅当，即a=4，b=2时，取最大值，
即取最小值4．
故所求的直线l的方程为，即x+2y-4=0．
（2）设直线l：y-1=k（x-2），分别令y=0，x=0，得．
则|PA|•|PB|=≥4，
当且仅当k²=1，即k=±1时，|PA|•|PB|取最小值，又∵k＜0，
∴k=-1，这时l的方程为x+y-3=0．
分析：（1）设所求的直线方程，点的坐标代入方程后使用基本不等式，可求面积的最小值，注意检验等号成立条件．
（2）设直线l的点斜式方程，求出A，B两点的坐标，代入|PA|•|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，
注意检验等号成立条件．
点评：本题考查直线方程的几种形式的应用，利用基本不等式求式子的最值，一定不要忘记检验等号成立的条件是否具备，属于基础题．