题目内容
已知椭圆C:+=1,(a>b>0)与双曲4x2-y2=1有相同的焦点,且椭C的离心e=,又A,B为椭圆的左右顶点,M为椭圆上任一点(异于A,B).(1)求椭圆的方程;
(2)若直MA交直x=4于点P,过P作直线MB的垂线x轴于点Q,Q的坐标;
(3)求点P在直线MB上射R的轨迹方程.
【答案】分析:(1)先确定双曲线中c的值,再利用椭圆的离心率,即可确定椭圆的方程;
(2)设M(x,y),P(4,z),则可得,利用PQ⊥MB及M在椭圆上,即可求Q的坐标;
(3)点P在直线MB上射影即PQ与MB的交点H,由QH⊥HB得△HQB为直角三角形,从而可求H点的轨迹方程.
解答:解:(1)由题意知,双曲线4x2-y2=1,∴c=1,
∵椭圆的离心率为e=,∴a=2,
∴b2=a2-c2=3
∴椭圆方程为 (3分)
(2)设M(x,y),P(4,z),则,得,故.
设Q(x,0),由PQ⊥MB得:,
又M在椭圆上,故x2=4-,化简得,即Q(,0)(8分)
(3)点P在直线MB上射影即PQ与MB的交点H,由QH⊥HB得△HQB为直角三角形,
设E为QB中点,则|HE|=|QB|=,E(,0),
因此H点的轨迹方程为(13分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查轨迹方程,解题的关键是确定椭圆中的几何量,利用垂直关系,建立等式,属于中档题.
(2)设M(x,y),P(4,z),则可得,利用PQ⊥MB及M在椭圆上,即可求Q的坐标;
(3)点P在直线MB上射影即PQ与MB的交点H,由QH⊥HB得△HQB为直角三角形,从而可求H点的轨迹方程.
解答:解:(1)由题意知,双曲线4x2-y2=1,∴c=1,
∵椭圆的离心率为e=,∴a=2,
∴b2=a2-c2=3
∴椭圆方程为 (3分)
(2)设M(x,y),P(4,z),则,得,故.
设Q(x,0),由PQ⊥MB得:,
又M在椭圆上,故x2=4-,化简得,即Q(,0)(8分)
(3)点P在直线MB上射影即PQ与MB的交点H,由QH⊥HB得△HQB为直角三角形,
设E为QB中点,则|HE|=|QB|=,E(,0),
因此H点的轨迹方程为(13分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查轨迹方程,解题的关键是确定椭圆中的几何量,利用垂直关系,建立等式,属于中档题.
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