Question

求棱长为a的正四面体外接球的表面积和体积．

Answer 1

分析：由正四面体的棱长为a，所以此四面体一定可以放在棱长为

2

2

a的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入面积公式、体积公式计算．

解答：解：∵正四面体的棱长为a，
∴此四面体一定可以放在正方体中，
∴我们可以在正方体中寻找此四面体．
如图所示，四面体ABCD满足题意，BC=a，
∴正方体的棱长为

2

2

a，
∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，
∵外接球的直径=正方体的对角线长，
∴外接球的半径为R=

1

2

×

1 2 + 1 2 + 1 2

=

6

4

，
所以球的表面积S=4πR2=

3

2

πa2
球的体积为V=

4

3

πR3=

6

8

πa3，

点评：本题考查几何体的接体问题，考查了空间想象能力，其解答的关键是根据几何体的结构特征，求出接体几何元素的数据，代入面积、体积公式分别求解．