Question

已知△ABC中，2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，
（1）求角A的大小；
（2）求sinB+sinC的最大值，并指出此时角B的大小．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理化简已知的等式，得到一个关系式，然后由余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）由（1）求出的A的度数，根据三角形的内角和定理求出B+C的度数，用B表示出C，代入sinB+sinC中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，即可求出sinB+sinC取得最大值时B的度数．

解答：解：（1）根据正弦定理得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
所以b²+c²-a²+bc=0，（3分）
所以cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，且A∈（0°，180°）
所以∠A=120°；（6分）
（2）sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=sinB+sin60°cosB-cos60°sinB
=sinB+

3

2

cosB-

1

2

sinB=

1

2

sinB+

3

2

cosB=sin（B+60°），（9分）
所以当∠B=30°时，sinB+sinC的最大值为1（12分）

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的恒等变形，以及三角函数的最值．熟练掌握定理及法则是解本题的关键．