Question

已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

m

=(2a-c，cosC)，

n

=(b，cosB)，且

m

∥

n

（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求

a+c

b

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过向量的平行，利用坐标运算，结合正弦定理以及两角和的正弦函数，求出角B的余弦值，即可求出B的大小；
（Ⅱ）通过正弦定理化简

a+c

b

的表达式，通过A的范围，利用正弦函数的最值求解表达式的取值范围即可．

解答：解：（I）

m

∥

n

，（2a-c）cosB=bcosC-------（2分）
由正弦定理（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．--------------（4分）
∴cosB=

1

2

，B∈（0，π），B=

π

3

----------------------（6分）
（II）由正弦定理

a+c

b

=

sinA+sinC

sinB

=

2 3

3

(sinA+sinC)
=

2 3

3

(sinA+sin(

2π

3

-A))=

2 3

3

(sinA+

3

2

cosA-

1

2

sinA)=2sin(A+

π

6

)--------------（7分）
∴

a+c

b

=2sin(A+

π

6

)--------------------（9分）
A∈(0，

2π

3

)，A+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)------------（10分）
∴

a+c

b

∈(1，2]------------------------------（12分）

点评：本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，正弦函数的值域的求法，考查计算能力．