Question

已知函数f(x)、g(x)同时满足条件:对一切实数x、y都有g(x-y)=g(x)·g(y)+f(x)·f(y);f(-1) =-1,f(0)=0,f(1)=1.试求g(0),g(1),g(2)的值.

Answer 1

解：由g(x-y)=g(x)·g(y)+f(x)·f(y)知,

g(x)=g(x-0)=g(x)·g(0)+f(x)·f(0),又f(0)=0,

故g(x)=g(x)·g(0)g(0)=1〔g(x)不恒为零,否则g(0)=g(1-1)=g²(1)+f²(1)=0f(1)=0与f(1)=1矛盾〕.

又g(-x)=g(0-x)=g(0)·g(x)+f(0)·f(x)=g(x)g(-1)=g(1),

又g(0)=g(1-1)=g²(1)+f²(1)=1g(1)=0〔f(1)=1〕,则g(-1)=g(1)=0.

g(2)=g［1-(-1)］=g(1)·g(-1)+f(1)·f(-1)=-1.