Question

（本题满分14分）已知函数f (x) = ax+ －3ln x．

(1) 当a = 2时，求f (x) 的最小值；

(2) 若f (x)在[1，e]上为单调函数，求实数a的取值范围．

 

 

Answer 1

【答案】

5－ln2,a≤ 时，f (x) 在[1，e]上为单调函数

【解析】解：(1) 当a = 2时，f (x) = 2x+ －3lnx

    f ' (x) = 2－－=

   令 f ' (x) = 0得x = 2或－（∵x>0，舍去负值）

x	(0，2)	2	(2，+ ¥)
f ' (x)	－	0	+
f (x)	↘	5－ln2	↗

   ∴ 当a = 2时，函数 f (x) 的最小值为5－ln2．          ……………6分

(2)∵ f ' (x) = ，

   令 h(x) = ax ²－3x－a = a(x－)²－，

   要使f (x)在[1，e]上为单调函数，只需f ' (x)在(1，e)内满足：f ' (x) ≥ 0或

   f ' (x) ≤ 0恒成立，且等号只在孤立点取得．

   ∵ h (1) = －3<0

   ∴ h (e) = ae²－3e－a≤0

   ∴a≤

① 当0≤a≤ 时，f ' (x) ≤ 0恒成立

② 当a < 0时，x=  Ï [1,e], ∴h(x)<0 (x Î [ 1, e])

   ∴ f ' (x) <0, 符合题意．

   综上可知，当a≤ 时，f (x) 在[1，e]上为单调函数．    ……………14分