题目内容

((本题满分14分)

已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE = x,G是BC的中点.沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如图).

(1)当x=2时,求证:BD⊥EG ;

(2)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为

的最大值;

(3)当取得最大值时,求二面角D-BF-C的余弦值.

 

【答案】

 

(1)略

(2)

(3)-

【解析】1)方法一:∵平面平面

AE⊥EF,∴AE⊥平面,AE⊥EF,AE⊥BE,

又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz.

,又为BC的中点,BC=4,

.则A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),D(0,2,2),E(0,0,0),

(-2,2,2),(2,2,0),

(-2,2,2)(2,2,0)=0,∴.………………4分

 

方法二:作DH⊥EF于H,连BH,GH,

由平面平面知:DH⊥平面EBCF,

而EG平面EBCF,故EG⊥DH.

为平行四边形,

四边形BGHE为正方形,∴EG⊥BH,BHDH=H,

故EG⊥平面DBH,

而BD平面DBH,∴ EG⊥BD.………4分

(或者直接利用三垂线定理得出结果)

 

(2)∵AD∥面BFC,

所以 =VA-BFC

有最大值为. ………8分

(3)设平面DBF的法向量为,∵AE=2, B(2,0,0),D(0,2,2),

F(0,3,0),∴………10分

(-2,2,2),

,∴

面BCF一个法向量为,………12分

则cos<>=,………13分

由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角,所以此二面角的余弦值为-.………14分

 

 

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