题目内容
数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且S9=135，a3、a4、a12成等比数列，
(1)求{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使
仍为数列{an}中的一项？若存在，求出满足要求的所有正整数m；若不存在，说明理由。
(1)求{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使
仍为数列{an}中的一项？若存在，求出满足要求的所有正整数m；若不存在，说明理由。 解：(1)设数列{an}的公差为d≠0，则
，
∴
，①
又∵a3、a4、a12成等比数列，
∴
，即
，
化简，得
，②
由①②，得：
，
∴
。
(2)由于
，
∴
，
设
，则
，
即
，
由于k、m为正整数，所以7必须能被7m-13整除，
∴7m-13=1，-1，7，-7，
∴m=2，k=10，
故存在唯一的正整数m=2，使
仍为数列{an}中的一项．
，∴
，① 又∵a3、a4、a12成等比数列，
∴
，即，化简，得
，② 由①②，得：
，∴
。(2)由于
，∴
，设
，则，即
，由于k、m为正整数，所以7必须能被7m-13整除，
∴7m-13=1，-1，7，-7，
∴m=2，k=10，
故存在唯一的正整数m=2，使
仍为数列{an}中的一项． 
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