Question

（2013•德州一模）数列{a_n}是公差不小0的等差数列a₁、a₃，是函数f（x）=1n（x²-6x+6）的零点，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=1-2b_n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知，a₁、a₃，是令f（x）=0即x²-6x+6=1的两根，求出a₁、a₃，易求数列{a_n}的通项公式，T_n=1-2b_n，令n=1得T₁=1-2b₁，解得b₁=

1

3

，当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-1-2b_n，数列{b_n}是等比数列，利用公式求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由（1）得c_n=a_nb_n=（2n-1）•

1

3

•(

2

3

)n-1=

2n-1

3

•(

2

3

)n-1，利用错位相消法求和即可．

解答：解：（1）令f（x）=0得x²-6x+6=1，解得x=1或5，由于d＞0，所以a₁=1，a₃=5，2d=4，d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）
由于T_n=1-2b_n，令n=1得T₁=1-2b₁，解得b₁=

1

3

，当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-1-2b_n，∴b_n=

2

3

b_n-1，
∴数列{b_n}是等比数列，b_n=

1

3

•(

2

3

)n-1（n∈N^*）；
（2）由（1）得c_n=a_nb_n=（2n-1）•

1

3

•(

2

3

)n-1=

2n-1

3

•(

2

3

)n-1
S_n=

1

3

[1•(

2

3

)0+3•(

2

3

)1+5•(

2

3

)2+…+(2n-1)•(

2

3

)n-1]

2

3

S_n=

1

3

[1•(

2

3

)1+3•(

2

3

)2+5•(

2

3

)3+…+(2n-1)•(

2

3

)n]
两式相减得

1

3

Sn=

1

3

+

2

3

[(

2

3

)1+(

2

3

)2+(

2

3

)3+…+(

2

3

)n-1]-

2n-1

3

•(

2

3

)n，
∴S_n=5-（2n+5）(

2

3

)n（n∈N^*）．

点评：本题考查数列通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，要熟练掌握数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．