Question

设，函数．
（1）当时，求在内的极大值；
（2）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值.（其中是的导函数．）

Answer 1

（1）1;（2） .

试题分析：（1）当时，求, 令，求,利用的单调性，求的最大值，利用的最大值的正负，确定的正负，从而确定的单调性，并确定的正负，即的正负，得到的单调性，确定极大值，此题确定极大值需要求二阶导数，偏难；（2）先求函数，再求,由方程有两个不等实根, 确定的范围，再将代入，再整理不等式，讨论,,三种情况，反解，从而利于恒成立求出的范围.属于较难试题.
试题解析：（1）当时，，
则，                 2分
令，则，
显然在内是减函数，
又因，故在内，总有，
所以在上是减函数                           4分
又因，                                               5分
所以当时，，从而，这时单调递增，
当时，，从而，这时单调递减，
所以在的极大值是．                         7分
（2）由题可知，
则．                        8分
根据题意，方程有两个不同的实根，（），
所以，即，且，因为，所以.
由，其中，可得

注意到，
所以上式化为，
即不等式对任意的恒成立      10分
（i）当时，不等式恒成立，；
（ii）当时，恒成立，即．
令函数，显然，是上的减函数，
所以当时，，所以；      12分
（iii）当时，恒成立，即．
由（ii），当时，，所以       14分
综上所述，．                                          15分