Question

【题目】已知椭圆的离心率为，过左焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交，所得弦长为1，斜率为 ()的直线过点，且与椭圆相交于不同的两点．　

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）在轴上是否存在点，使得无论取何值， 为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在点M（2，0）满足题意，且常数为0.

【解析】试题分析：（I）由题意可知得的值，即可求解椭圆的标准方程；

（II）设在轴上存在点满足题意,设直线的方程可设为与椭圆的方程联立方程组，得出和，利用，求得，即可确定结论.

试题解析：（I）由题意可知椭圆过点，则，

又

解得，则椭圆方程.

（II）设在x轴上存在点M（t，0）满足题意,

直线过点（1， 0）且斜率为k，则直线的方程可设为：

由 可知：

易知： 设

则：

由题可设：

对任意实数恒成立；

解得：

存在点M（2，0）满足题意，且常数为0.