Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面⊥平面， ，

是等边三角形， ， .

（Ⅰ）证明：平面⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（I）证明：在中，利用勾股定理得到,进而即可证明平面，即可得到结论；

（II）根据题意，建立空间直角坐标系，求解平面的法向量, 确定平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.

试题解析：（I）证明：在中，由于, , ,

,故.

又 ，

，

，

又，

故平面平面

（II）法1:如图建立空间直角坐标系， , , , .

设平面的法向量,

由

令则, 则.

易得平面的一个法向量为，

则，

则所求余弦值为.

法2:由（I）知，

则过点作，连接，

则为线段的中点，则,

则，则为二面角

的平面角，

在直角三角形中，

，则