题目内容

4．已知直线1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-3-\frac{\sqrt{6}}{3}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}t}\end{array}\right.$ （t为参数），在直角坐标系中，以原点O为原点，x为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）+4sinθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）点P、Q分别为直线1与曲线C上的动点，求|PQ|的取值范围．

分析 （1）曲线C的极坐标方程转化为ρ2=4ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）曲线C：（x-2）2+y2=4是以C（2，0）为圆心，半径r=2的圆，直线1的参数方程消去参数t，得直线l的普通方程为x+$\sqrt{2}$y+3=0，求出圆心C（2，0）到直线l的距离d=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，由此能求出|PQ|的取值范围．

解答 解：（1）∵曲线C的方程为ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）+4sinθ，
∴$ρ=4\sqrt{2}（cosθcos\frac{π}{4}-sinθsin\frac{π}{4}）+4sinθ$=4cosθ．
∴ρ2=4ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4．
（2）曲线C：（x-2）2+y2=4是以C（2，0）为圆心，半径r=2的圆，
直线1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-3-\frac{\sqrt{6}}{3}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}t}\end{array}\right.$ （t为参数），
消去参数t，得直线l的普通方程为x+$\sqrt{2}$y+3=0，
圆心C（2，0）到直线l的距离d=$\frac{|2+0+3|}{\sqrt{1+2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∵点P、Q分别为直线1与曲线C上的动点，
∴|PQ|的取值范围是[$\frac{5\sqrt{3}}{3}-2$，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$+2]．

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查线段长的取值范围的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．

练习册系列答案
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