题目内容
一袋中装有4n只红球和n只黑球（所有球的形状、大小都相同），每一次从袋中摸出两只球，且每次摸球后均放回袋中．现规定：摸出的两只球颜色不同则为中奖．设三次摸球恰有一次中奖的概率为P，则当n=
5
5
时，使得P最大．分析：根据题意，设某一次中奖的概率为q，由古典概型公式和组合数公式可将q用n表示出来，进而由n次独立重复试验恰有k次发生的公式将p用q表示，分析可得q=
时，p最大；
进而可得
=
，解可得n的值，即可得答案．
| 1 |
| 3 |
进而可得
| 8n |
| 5(5n-1) |
| 1 |
| 3 |
解答：解：根据题意，设某一次中奖的概率为q，
在4n只红球和n只黑球任取2只有C5n2种取法，若摸出的两只球颜色不同即一红一黑有C4n1×Cn1种情况，
则q=
=
；
若三次摸球恰有一次中奖，
则P=C31q•（1-q）2=3q（1-q）2=
[（2q）（1-q）（1-q）]，
分析可得，当2q=1-q，即q=
时，p最大；
若q=
=
，解可得n=5；
即n=5时，p最大；
故答案为5．
在4n只红球和n只黑球任取2只有C5n2种取法，若摸出的两只球颜色不同即一红一黑有C4n1×Cn1种情况，
则q=
| ||||
|
| 8n |
| 5(5n-1) |
若三次摸球恰有一次中奖，
则P=C31q•（1-q）2=3q（1-q）2=
| 2 |
| 3 |
分析可得，当2q=1-q，即q=
| 1 |
| 3 |
若q=
| 8n |
| 5(5n-1) |
| 1 |
| 3 |
即n=5时，p最大；
故答案为5．
点评：本题考查排列、组合的应用，涉及基本不等式的运用，关键是熟练应用概率公式，求出两只球颜色不同的概率以及三次摸球恰有一次中奖的概率．
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