Question

【题目】设椭圆：，为左、右焦点，为短轴端点，且，离心率为,为坐标原点．

（1）求椭圆的方程，

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点,,且满足？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由题意可得方程2cb＝4，e，且a2＝b2+c2；从而联立解出椭圆C的方程为1；

（2）假设存在圆心在原点的圆x2+y2＝r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，则可得0；再设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y＝kx+m，与椭圆联立，利用韦达定理及条件可得3m2﹣8k2﹣8＝0，代入△从而可解得m的范围，进而解出所求圆的方程，再验证当切线的斜率不存在时也成立即可．

（1））∵椭圆C：1（a＞b＞0），

由题意可得，

2cb＝4，e，且a2＝b2+c2；

联立解得，；

故椭圆C的方程为1；

（2）假设存在圆心在原点的圆x2+y2＝r2，

使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，

∵||＝||，

∴0；

设M（x1，y1），N（x2，y2），

当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y＝kx+m，

解方程组得，

（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，

则△＝（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＝8（8k2﹣m2+4）＞0；

即8k2﹣m2+4＞0；

∴x1+x2，x1x2；

y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2；

要使0，

故x1x2+y1y2＝0；

即0；

所以3m2﹣8k2﹣8＝0，

所以3m2﹣8≥0且8k2﹣m2+4＞0；

解得m或m；

因为直线y＝kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，

所以圆的半径为r，r2；

故r；

即所求圆的方程为x2+y2；

此时圆的切线y＝kx+m都满足m或m；

而当切线的斜率不存在时切线为x＝±与椭圆1的两个交点为（，±），（，±）；

满足0，

综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2满足条件．