Question

【题目】已知函数

当时，讨论的导函数在区间上零点的个数；

当时，函数的图象恒在图象上方，求正整数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）当时，在存在唯一零点；当时，在没有零点（2）

【解析】

（1）首先求，令，然后求，讨论当时，，判断函数的单调性和端点值，判断函数是否有零点；当时，同样是判断函数的单调性，然后结合零点存在性定理，可判断函数是否存在零点；（2）由，参变分离求解出在上恒成立，转化为求函数的最小值，设，，利用导数判断函数的单调性，求得函数的最小值.

解：（1）.

令，，则,

①当时，当，，单调递减，又，所以对时，，此时在不存在零点.

②当时，当，，单调递减.

又因为，取，

则，即.

根据零点存在定理，此时在存在唯一零点.

综上，当时，在存在唯一零点；当时，在没有零点.

（2）由已知得在上恒成立.

设，，则

因为时，所以，

设，，所以在上单调递增，

又，，由零点存在定理，使得，即,，

且当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.

所以，

又在上单调递减，而，所以，

因此，正整数的最大值为.