Question

定义符号函数sgnx=，设f（x）=•f₁（x）+•f₂（x），x∈[0，1]，若f₁（x）=，f₂（x）=2（1-x），则f（x）的最大值等于（ ）
A．2
B．1
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：分三种情况讨论：当x=时，则符号函数的定义结合已知函数表达式，得到f（x）=，代入x=，得f（）=1；当x时，同理得到f（x）=f₂（x）=2（1-x），在区间（，+∞）内是减函数，得到f（x）＜1恒成立；当时，f（x）=f₁（x）=，在区间（-∞，）内是增函数，所以f（x）＜1恒成立．综合可得f（x）的最大值等于1，得到正确选项．
解答：解：①当x=时，==0，
因此f（x）=•f₁（x）+•f₂（x）=f₁（x）+f₂（x），
∵f₁（x）=，f₂（x）=2（1-x），
∴f（x）=x++（1-x）=
代入x=，得f（）=1；
②当x时，=1，=-1，
因此f（x）=•f₁（x）+•f₂（x）=f₂（x）
∴f（x）=2（1-x），在区间（，+∞）内是减函数，所以f（x）＜2（1-）=1恒成立；
③当时，=-1，=1，
因此f（x）=•f₁（x）+•f₂（x）=f₁（x），
∴f（x）=，在区间（-∞，）内是增函数，所以f（x）＜+=1恒成立．
综上所述，则f（x）的最大值等于1．
故选B
点评：本题给出一个含有符号函数的综合式为例，以求函数的最大值为载体，考查了函数的单调性与最值等知识点，属于中档题．