Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在处切线的斜率为，判断函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，，证明，并指出a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）为R上的增函数；（2）证明见解析，a的取值范围是.

【解析】

（1）求出函数的导数，结合题意求出的值，从而求出函数的单调区间；

（2）通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而判断函数零点的个数，利用单调性证明不等式后，即可确定满足条件的a的取值范围.

（1）由题，

则，得，

此时，由得.

则时，，为增函数；时，，为增函数，且，所以为R上的增函数

（2）①当时，由得或，

若，由（1）知，为R上的增函数.

由，，

所以只有一个零点，不符合题意

若，则时，，为增函数；时，，为减函数；时，，为增函数.

而，故最多只有一个零点，不符合题意

若时，则时，，为增函数；时，，为减函数；时，，为增函数，得，故最多只有一个零点，不符合题意

②当时，由得，

由得，为减函数，由得，为增函数，

则.

又时，，时，，

所以当时，始终有两个零点，，

不妨令，，构造函数，

所以，

由于时，，又，则恒成立，

所以为的减函数，

则，

即，故有.

又，是的两个零点，则，

所以.结合的单调性得，

所以，所求a的取值范围是.